Triangulares.

A diferencia de los aficionados al fútbol, que necesitan otros 21 compañeros para jugar.

A diferencia de los amantes de la aventura, que necesitan un barco para descubrir un continente.

A diferencia de los físicos, que necesitan un universo para comprobar sus leyes.

 

Los matemáticos, por muy abajo que estemos en el escalafón del talento, sólo necesitamos papel y lápiz.  A veces, ni eso.

 

Otra ventaja que tenemos es que América puede descubrirse sólo una vez y Selene ser pisada por primera vez en una única ocasión.  Pero nosotros podemos redescubrir cositas (sin importancia la inmensa mayoría) como si nadie lo hubiese hecho antes.  Basta ser por un lado ignorante, es decir, desconocedor de los que otros han hecho, y por otro lado curioso.

 

A veces, además, las casualidades te estallan a la cara.

 

Pensaba escribir un articulito sobre los números triangulares. 

Un número triangular t(n) es de la forma t(n)=1+2+3+…+n.  Es decir, t(1)=1, t(2)=3, t(3)=6…  Es fácil demostrar, ¡hasta con lo que se enseña en la ESO!,  que t(n)=n·(n+1)/2.

 

Observad, por otra parte que t(n)+t(n-1)=n², lo que geométricamente es evidente si usamos unas cuantas monedas.

 

Pues bien, hace un año se me ocurrió mientras viajaba en un tren, plantearme el siguiente problema:

 

Tenemos una urna con x bolas blancas e y bolas negras.  La distribución de las bolas es tal que si extraemos, sin reemplazamiento, dos bolas la probabilidad de extraer dos bolas del mismo color es un 50% (o, dicho de otra forma: es igual de probable extraer dos bolas del mismo color que de distinto color).  ¿Cómo es la distribución de bolas?

 

La respuesta (require conocer los entresijos de la ecuación de Pell ) es sorprendente por su belleza: Es necesario y suficiente que las bolas blancas sean un número triangular y las bolas negras el número triangular anterior o posterior.  Es decir, las bolas blancas y negras son números triangulares consecutivos: t(n-1) y t(n) para algún n.  En particular, como t(n-1)+t(n)=n², la urna tendría n² bolas.

 

Ayer antes de dormir, se me ocurrió, por matar el tiempo, intentar resolver la ecuación diofántica (x-y)²=x+y  que me parecía bonita aunque, supongo, carente de todo interés.

Sin embargo, la solución era nuevamente hermosísima: x=t(n), y=t(n-1).

Nuevamente números triangulares consecutivos.

 

Fue ayer un día extraño: con algún disgusto y algunas alegrías.  Pero terminó con esa pequeña sorpresa que hoy quiero compartir.