Un recuerdo de mi adolescencia (solución)

Sea a(n)=raíz(n²+n). Probaré de dos formas que la parte entera de a(n9 es n y que la cifra de las décimas es un 4.

Demostración 1.-

Sea f(x)=raíz(x²+x)-x, definida para x>=1.

f es creciente pues f’(x)=(2x+1)/(2(raíz(x²+x))-1=(2x+1-2raíz(x²+x)) /(2(raíz(x²+x))

Si probamos que 2x+1-2raíz(x²+x)>0, tendremos que f’(x)>0, luego f creciente.

Pero que 2x+1-2raíz(x²+x)= (x+1)+x-2raíz(x²+x)=

=(raíz(x+1))²+(raíz(x))²-2 ·raíz(x+1)· raíz(x)=(raíz(x+1)-raíz(x))²>0.

Así f’>0.

 

Por otra parte el límite cuando x-> infinito es ½ porque limf= lim (raíz(x²+x)-x)=

=lim (raíz(x²+x)-x)· (raíz(x²+x)+x) / (raíz(x²+x)+x)=lim x/(raíz(x²+x)+x)=

=lim 1/(raíz (1+1/x)+1)=1/(1+1)=1/2

Por tanto, necesariamente, si x>=1, f(1)<1/2, es decir raíz(2)-1<1/2.

Luego decir raíz(2)-1<1/2. y como raíz(2)-1=0’4.. demuestra el teorema.

 

(Esta demostración es la primera que hice, en 3º BUP)

La siguiente es más simple:

 

Demostración 2.-

Se basa en demostrar directamente que raíz(2)-1<1/2.

Como raíz(n²+n)-n= (raíz(n²+n)-n)·( raíz(n²+n)+n)/ ( raíz(n²+n)+n)=n/( raíz(n²+n)+n)=

=1/( raíz(1+1/n)+1) tenemos, por un lado que, puesto que raíz(1+1/n)+1>raíz(1)+1=2, necesariamente 1/( raíz(1+1/n)+1)<1/2.

Por otro lado, como raíz(1+1/n)+1

1/( raíz(1+1/n)+1)>1/( raíz(2)+1)=raíz(2)-1