Un recuerdo de mi adolescencia.
Cuando tenía trece o catorce años me fascinaba lo que para mí era un misterio matemático.
Elijamos dos números naturales consecutivos, digamos 12 y 13. Multipliquémoslos: 156. Extraigamos su raíz cuadrada: 12’4899996…
La parte entera de este número es 12 (el primer factor que multiplicamos) y la cifra correspondientes a las décimas es siempre 4.
Otro ejemplo: 6x7=42 y la raíz de 42 es 6’4807.
Me costó bastantes intentos encontrar una demostración convincente del misterio del 4 en la cifra de las décimas. Y más aún me costó, años después, demostrarlo rigurosamente.
¿Os atrevéis con ello?
Más concretamente:
Demostrad que la cifra de las décimas de la raíz cuadrada del producto de dos números naturales consecutivos es siempre un 4 y que la parte entera es siempre n.
5 comentarios
PCRdeG -
Demostración 1.-
Sea f(x)=raíz(x²+x)-x, definida para x>=1.
f es creciente pues f(x)=(2x+1)/(2(raíz(x²+x))-1=(2x+1-2raíz(x²+x)) /(2(raíz(x²+x))
Si probamos que 2x+1-2raíz(x²+x)>0, tendremos que f(x)>0, luego f creciente.
Pero que 2x+1-2raíz(x²+x)= (x+1)+x-2raíz(x²+x)=
=(raíz(x+1))²+(raíz(x))²-2 raíz(x+1) raíz(x)=(raíz(x+1)-raíz(x))²>0.
Así f>0.
Por otra parte el límite cuando x-> infinito es ½ porque limf= lim (raíz(x²+x)-x)=
=lim (raíz(x²+x)-x) (raíz(x²+x)+x) / (raíz(x²+x)+x)=lim x/(raíz(x²+x)+x)=
=lim 1/(raíz (1+1/x)+1)=1/(1+1)=1/2
Por tanto, necesariamente, si x>=1, f(1)
Milady -
PCRdeG -
En realidad se nota que no eras una profesional de esto, jeje.
Me explico: mi demostración es más elegante...y más liosa.
milady -
sqrt(x^2+x) > x + 0,4
x^2 + x > x^2 + 0,16 + 0,8x
x > 0,8 se cumple para x natural.
Por otro lado
sqrt(x^2+x) < x + 0,5
x^2 + x < x^2 + 0,25 + x
0 < 0,25
Así, la raiz está siempre entre el número menor + 0,4 y el número menor + 0,5, cqd.
Me alegra comprobar que te quedan recuerdos de la adolescencia, a pesar de la memoria de pez. Jeje
Milady -
A lo fácil: "la parte entera es siempre n.". Es tan obvio que no necesita demostración.
Vale, no he dicho eso.
Demostración:
Parte1:
sqrt(x(x+1))>x
x^2+x>x^2
x>0 correcto en naturales.
Parte 2:
sqrt((x(x+1)) < x+1
x^2+x < x^2 + 2x + 1
0 < x+1
Luego la raiz está comprendida entre el número y el siguiente, luego su parte entera es el número, cqd.
Al 4... sigo con ello. El producto es par, y la sqrt(2) es 1,4..., ¿tiene algo que ver la intuición o es una tontería?
Sí, acepto pistas. :_(